题目：设R为有限集合A上的关系（n=|A|），则编写程序实现如下问题：
- 试使用关系性质判断的等价条件（如：自反、对称、传递）判断关系R是否是等价关系？
- 若R是等价关系，则求由R诱导的集合A的划分。
- 若R不是等价关系，则求包含R最小的等价关系。
- 求集合A上等价关系的个数。
编程语言：C语言或者C++。
解题思路描述：
1.定义一个函数来检查给定的关系是否是等价关系。
- 检查该关系是否具有自反性。
- 检查该关系是否具有对称性。
- 检查该关系是否具有传递性。
//定义一个函数来检查给定的关系是否是等价关系。
bool is_equivalence_relation(vector<vector<int>>& R, int n) {
//检查自反性
for (int i = 0; i < n; i++) {
if (!R[i][i]) return false;
}
//检查对称性
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (R[i][j]) {
if (!R[j][i]) return false;
}
}
}
//检查传递性
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
for (int k = 0; k < n; k++) {
if (R[i][j] && R[j][k]) {
if (!R[i][k]) return false;
}
}
}
}
return true;
}
2.将定义一个函数来计算由给定的等价关系诱导的集合A的划分。
（1）初始化一个空的划分结果P，以及一个长度为n的标记数组visited。
（2）对于每个未被访问过的元素i，执行以下步骤：
a.从i开始，向前遍历R的第i行，标记所有与i关联的元素为已访问，并将它们加入到划分结果P中。
b.从i开始，向后遍历R的第i列，标记所有与i关联的元素为已访问，并将它们加入到划分结果P中。
（3）返回划分结果P。
//定义一个函数来计算由给定的等价关系诱导的集合A的划分。
vector<vector<int>> induce_partitions(vector<vector<int>>& R, int n) {
vector<vector<int>> partitions(n);
for (int i = 0; i < n; i++) {
partitions[i].push_back(i);
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (R[i][j]) {
merge(partitions[i], partitions[j]);
}
}
}
return partitions;
}
3.定义一个函数求包含R最小的等价关系。
（1）初始化两个二维矩阵trans和result，并把它们的大小都设置为n*n（n为输入矩阵R的大小）。我们将trans初始化为R的副本，并将result初始化为全零矩阵。
（2）使用Floyd的算法计算传递闭包。反复遍历trans矩阵，如果发现某个元素trans[i][j]为1，则再遍历一行j，将trans[k][j]设为1。这个过程一直持续到没有更多的改变发生。
（3）遍历trans矩阵，如果trans[i][j]为1，则将result[i][j]设为1。这样，result矩阵就变成了包含R的最小等价关系。
//定义一个函数求包含R最小的等价关系。
vector<vector<int>> closure(vector<vector<int>>& R,int n) {
vector<vector<int>> trans(n, vector<int>(n));
vector<vector<int>> result(n, vector<int>(n));
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
trans[i][j] = R[i][j];
}
}
bool changed = true;
while (changed) {
changed = false;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (trans[i][j]) {
for (int k = 0; k < n; k++) {
if (!trans[k][j]) {
trans[k][j] = 1;
changed = true;
}
}
}
}
}
}
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
if (trans[i][j]) {
result[i][j] = 1;
}
else {
result[i][j] = 0;
}
}
}
return result;
}
4.定义一个函数来计算集合A上所有可能的等价关系的数量。
假设每个元素都可以与任何其他元素关联，从而产生n^2个可能的等价关系。
//定义一个函数来计算集合A上所有可能的等价关系的数量。
int count_equivalence_relations(int n) {
return n * (n - 1);
}
5.程序的主函数如下：
int main() {
int n;
cout << "输入集合A中元素的个数: ";
cin >> n;
vector<vector<int>> R(n, vector<int>(n, false));
cout << "输入关系R(0表示没有关系，1表示有关系):" << endl;
for (int i = 0; i < n; i++) {
for (int j = 0; j < n; j++) {
cin >> R[i][j];
}
}
if (is_equivalence_relation(R, n)) {
vector<vector<int>> partitions = induce_partitions(R, n);
cout << "给定的关系R构成等价关系。" << endl;
cout << "由R诱导的集合A的划分为:" << endl;
for (int i = 0; i < partitions.size(); i++) {
cout << "{ ";
for (int j = 0; j < partitions[i].size(); j++) {
cout << partitions[i][j] << " ";
}
cout << "}" << endl;
}
}
else {
vector<vector<int>> result = closure(R, n);
cout << "给定的关系R不构成等价关系。" << endl;
cout << "包含R最小的等价关系为:" << endl;
for (int i = 0; i < result.size(); i++) {
for (int j = 0; j < result[i].size(); j++) {
cout << result[i][j] << " ";
}
cout << endl;
}
}
cout << "有" << n << "个元素的集合上等价关系的个数为：" << count_equivalence_relations(n) << endl;
return 0;
}
测试用例说明：
测试样例1：
测试样例2：
